Pol- Nullstellendiagramm und Frequenzgang
Bestimmung des Frequenzgangs:
man bewegt sich vom Ursprung in Richtung positiver y-Achse und ermittelt dabei den Abstand zu den Polen und Nullstellen. Eine Polstelle im Abstand 0.001 erhöht die Verstärkung um den Faktor 1000; eine Polstelle im Abstand 1000 verringert die Verstärkungn um 1/1000; eine Nullstelle im Abstand 0.001 verringert die Verstärkung um den Faktor 1000; dieser Vorgang muss für jeden Pol/jede Nullstelle gemacht werden; zum Schluss werden die Verstärkungen multipliziert (im logarithmischen Maßstab addiert).
Bestimmung des Phasengangs:
man bewegt sich vom Ursprung in Richtung positiver y-Achse und ermittelt den Winkel zu den Polen und Nullstellen. Nullstellen stehen im Zähler des Polynoms: drehen sie die Phase in positive Richtung (gegen den Uhrzeigersinn), so wird der Winkel positiv gezählt; Pole stehen im Nenner, daher werden hier in diesem Fall die Winkel negativ gezählt
ein Pol dreht daher den Winkel um -90°, eine Nullstelle um +90°
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poles=[-1];zeros=[];
a=poly(poles);b=poly(zeros);
H1=tf(b,a);p=pzplot(H1);grid on
bode(H1);grid on
man sieht: bei w=1 ist der Abstand zum Pol 1.41 und damit die Verstärkung 1/1.41; das ist die Grenzfrequenz.
Wenn man s=0 setzt, ist die Verstärkung 1, für s=inf (unendlich) ist die Verstärkung 0; bei einem Pol = 1. Ordnung sinkt die Verstärkung ab der Grenzfrequenz mit 20dB/Dekade
Der Winkel beträgt bei w=1 45° (1 auf der x-Achse, 1 auf der y-Achse).
Beispiel1:
poles=[-1 -2];zeros=[];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
für s=0: H(0)=1/2; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel2:
poles=[-1 -0.5];zeros=[];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(5*b,a);
für s=0: H(0)=1/0.5=2; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel3:
Eine Nullstelle an der gleichen Position wie die Polstelle löscht die Polstelle
poles=[-1 -0.5];zeros=[-1];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
für s=0: H(0)=1/0.5=2; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel4:
Eine Nullstelle zwischen zwei Polen: die Nullstelle neutralisiert den 2. Pol, die Phasendrehung ist wie bei 1 Pol, da der Pol näher an y liegt
poles=[-1 -0.5];zeros=[-0.7];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
für s=0: H(0)=1/0.5=2; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel5:
Eine Nullstelle weit außerhalb der zwei Polen: die Nullstelle ist im unteren Frequenzbereich nicht wirksam (2. Ordnung, steiler Abfall), aber bei sehr hohen Frequenzen neutralisiert sie einen Pol
poles=[-1 -0.5];zeros=[-10];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
für s=0: H(0)=1/0.5=2; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel6 (lead Glied):
Eine Nullstelle näher als ein Pol (lead): die Nullstelle wirkt bei tiefen Frequenzen stärker, in großem Abstand heben sich Pol und Nullstelle auf
poles=[-1];zeros=[-0.5];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
für s=0: H(0)=1/0.5=2; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel7 (lag Glied):
Ein Pol näher als eine Nullstelle: die Nullstelle wirkt bei tiefen Frequenzen stärker, in großem Abstand heben sich Pol und Nullstelle auf
poles=[-0.2];zeros=[-2];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
für s=0: H(0)=1/0.5=2; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel8:
Konjugiert komplexe Pole: bei w=1 ist der Abstand zum Pol am geringsten, hier entsteht ein Maximum, in weitem Abstand (hohe Frequenz) ist die Verstärkung 0; Abfall 40db/Dekade
Die Phase ist bei Gleichspannung am Anfang 0, bei sehr hohen Frequenzen -180°; der Pol bei den negativen Frequenzen liefert konstant ca. -90°, der Pol auf der reellen Achse dreht von 0 bis w=1 um ca.
poles=[-0.1-1j -0.1+1j];zeros=[];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
% für s=0: H(0)=1; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel9:
Konjugiert komplexe Pole: bei w=1 ist der Abstand zum Pol 1, zum zweiten Pol sqrt(5)=2.3 die Gesamt-Verstärkung ist also ca. 1*(1/2.3) = -7dB., hier entsteht ein Maximum, in weitem Abstand (hohe Frequenz) ist die Verstärkung 0; Abfall 40db/Dekade
Die Phase ist bei Gleichspannung am Anfang 0, bei sehr hohen Frequenzen -180°;
poles=[-1-1j -1+1j];zeros=[];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
% für s=0: H(0)=1; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
Beispiel10:
Konjugiert komplexe Pole mit reeller Nullstelle: bei w=1 ist der Abstand zum Pol 1, zum zweiten Pol sqrt(5)=2.3 und zur Nullstelle 1.4; die Gesamt-Verstärkung ist also ca. 1.4*(1/2.3) = -4dB., hier entsteht ein Maximum, in weitem Abstand (hohe Frequenz) ist die Verstärkung 0; Abfall 20db/Dekade (Die Nullstelle neutralisiert eine Polstelle).
Die Phase ist bei Gleichspannung am Anfang 0, bei sehr hohen Frequenzen -90°;
poles=[-1-1j -1+1j];zeros=[-1];
a=poly(poles);b=poly(zeros);H=tf(b,a);
% für s=0: H(0)=1; H(inf)=0
p=pzplot(H);grid on
bode(H);grid on
